Im Alter von 5 Jahren begann Felix Gröger mit dem Klavierunterricht an der Kreismusikschule Uckermark. 2015 erhielt er dann auch dort seinen ersten Fagottunterricht. Folgend bekam er Unterricht bei Prof. Mathias Baier, Paul-Gregor Straka und dem Dirigenten David Robert Coleman. Ab dem Jahr 2022 studiert Felix Gröger an der Hochschule für Musik in Würzburg bei Prof. Albrecht Holder und Moritz Winker künstlerisch Fagott.
Felix Gröger nahm an vielen renommierten Meisterkursen in Deutschland und Italien teil, unter anderem bei Prof. Philipp Zeller, Prof. Eckart Hübner, Prof. Veikko Braeme sowie mehrfach beim Talent Summer Course in Brescia unter der Leitung von Prof. Albrecht Holder.
Zudem erhielt er den 1st Prize beim internationalen Wettbewerb “Làszlò Spezzaferri” in Italien sowie den zweiten und dritten Hauptpreis beim Internationalen Malchower Kirchenpreis. Weitere Erfolge umfassen Auszeichnungen bei „Soloist and Orchestra Audition“ in Italien (2023 und 2024) sowie den Preis der Musikförderung Klaus Thimm im Jahr 2024.
Viele Konzerte durfte er bereits als Solist mit dem Preußischen Kammerorchester, Jugendorchester Sankt Petersburg sowie mit dem italienischen Master Orchester spielen.
Zusätzlich sammelte er Orchestererfahrung als Aushilfe unter anderem beim Staatstheater Meiningen, der Niederbayerischen Philharmonie Passau, dem Philharmonischen Orchester Würzburg sowie dem Musikkorps der Bundeswehr. Seit 2025 ist er Mitglied der Giuseppe-Sinopoli-Akademie der Sächsischen Staatskapelle Dresden (Semperoper).